數學上,加托導數(英文: Gâteaux derivative)是微分學中的方向導數的概念的推廣。它以勒內·加托命名,他是一位法國數學家,年青時便死於第一次世界大戰。它定義於局部凸的拓撲向量空間上,可以和巴拿赫空間上的弗雷歇導數作對比。二者都經常用於形式化泛函導數的概念,常見於變分法和物理學,特別是量子場論。和其他形式的導數不同,加托導數是非線性的。
假設
和
是局部凸拓撲向量空間,(例如巴拿赫空間),
是開集合(open set),且
。
在點
沿着
方向的加托偏微分(Gâteaux differential)
定義為
![{\displaystyle dF(u,\psi )=\lim _{\tau \rightarrow 0}{\frac {F(u+\tau \psi )-F(u)}{\tau }}=\left.{\frac {d}{d\tau }}F(u+\tau \psi )\right|_{\tau =0}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/093243d9230194379c137303a3b18d61b6bb5572)
如果極限存在。固定
若
對於所有
都存在,則稱
在
是加托可微(Gâteaux differentiable )。若
在
是加托可微,稱
為在
的加托導數。
稱
是在
中連續可微的若
![{\displaystyle dF:U\times X\rightarrow Y}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/57b5696bb3339539d09fdd1fc2ad1bca4cb4b86d)
是連續的。
若加托導數存在,則其為唯一。
對於每個
,加托導數是一個算子
。
該算子是齊次的,使得
,但是它通常不是可加的,並且,因此而不總是線性的,不像Fréchet導數。
令
為一個在歐幾里得空間
勒貝格可測集
上的平方可積函數的希爾伯特空間,也就是說
是勒貝格可測集
。泛函
由
![{\displaystyle E(u)=\int _{\Omega }F\left(u(x)\right)dx}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/55c3fb9dbdbbc8c8b1516aeaa19a39f79e15708f)
給出,其中
是一個定義在實數上的可微實值函數且
而
為定義在
的實數值函數,則加托導數為
這符號代表
.
更詳細的說:
![{\displaystyle {\frac {E(u+\tau \psi )-E(u)}{\tau }}={\frac {1}{\tau }}\left(\int _{\Omega }F(u+\tau \psi )dx-\int _{\Omega }F(u)dx\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/470143afc798851f3dcb25cee2aafa4936ee05a2)
![{\displaystyle \quad \quad ={\frac {1}{\tau }}\left(\int _{\Omega }\int _{0}^{1}{\frac {d}{ds}}F(u+s\tau \psi )\,ds\,dx\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5c7970245164f575dcba0cd2d40265e9e312eccc)
![{\displaystyle \quad \quad =\int _{\Omega }\int _{0}^{1}f(u+s\tau \psi )\psi \,ds\,dx.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7326af3396ba49d285218caf6f31049e67ef175a)
令
(並假設所有積分有定義),得到加托導數
![{\displaystyle dE(u,\psi )=\int _{\Omega }f(u(x))\psi (x)\,dx,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2f45148320a7f42f97df2668189cf22017b41a99)
也就是,內積